复合映射
对于$X$，$Y$和$Z$三个集合，存在映射$f$，$g$和$h$
其中$h$可以表示为先$f$后$g$的复合映射，所以复合映射$h$可以表示为下面的形式，注意书写的顺序和映射复合的顺序相反。
流形(Manifold)
粗略的说，一个 拓扑空间(Topological Space) 再加上一个 微分结构(Differentiable structure) ，称为 流形(Manifold) 。
开覆盖(Open Cover) 假定有一个拓扑空间M，存在一个由$M$上的若干开集(Open Set)组成的集合
如果下式成立，则说上面这个是$M$的一个 开覆盖(Open Cover)
如果$M$上存在一个开覆盖，并且满足下面两个条件，则称$M$为一个 n维 的 流形(Manifold) 。
对于这个开覆盖中的任意一个开集$O_{\alpha}$，存在一个从$O_{\alpha}$到拓扑空间$\mathbf{R}_n$上的某个开子集的同胚映射。(注意：$\mathbf{R}_n$的拓扑结构在没有特殊声明的时候取 通常拓扑(Usual topology) ，即可表示为开球之并的子集的集合)
对于开集$O_{\alpha}$和开集$O_{\beta}$，如果它们的交集不为空，则从$V_{\alpha}$到$V_{\beta}$上的复合映射的无限阶连续(任意阶导函数存在且连续)。
流形(Manifold) 的维数是由映射$\Psi$决定的，$\Psi$将一个开集映射到一个几维的空间上，流形的维数就是几。
对于条件二，需要特别注意这个条件中映射的原像和像的范围。
第一个条件使得一个n维的 流形(Manifold) 的 局部 上看起来像一个$\mathbf{R}_n$。
第二个条件保证了不同的开集之间的相容性，又叫做 相容性条件(Compatibility condition) 。
图/坐标系&图册(Chart/Coordinate System& Atlas)
对于$M$上的某个点，通过$\Psi$映射得到了$\mathbf{R}_n$上的一组数$(x_1,…,x_n)$，这一组数称作这个点在$\Psi$映射下对应的自然坐标。
对于$M$中红色区域中的点，在$\Psi_\alpha$和$\Psi_\beta$的映射下得到了$(x_1,…,x_n)$，$(x’_1,…,x’_n)$ 两个不同的自然坐标，而这两个不同的自然坐标可以通过之前提到的复合映射进行变换，这就是所谓的 坐标变换(Coordinate transformation)。
一般将流型上的某个开集$O$和其对应的映射$\Psi$称作一个 坐标系(Coordinate system) ，或者 图(Chart)，记作$(O, \Psi)$。
若干 图(Chart) 的集合称做 图册(Atlas) ，记作$\{(O_1, \Psi_1),…,(O_n, \Psi_n)\}$。
例子
给定$\mathbf{R}_2$上的一个拓扑空间$M=\mathbf{R}_2$
- 寻找一个最简单的开覆盖：$O_1=\mathbf{R}_2$。
- 寻找一个最简单的同胚映射：$\Psi_1:\mathbf{R}_2 \rightarrow \mathbf{R}_2$（恒等映射）
则M是一个2维流形，其图册为$\{(O_1, \Psi_1)\}$。
可以发现在上面的例子中，$O_1$在映射$\Psi_1$下的坐标就是普通的直角坐标。
通过在开覆盖中给定其它满足条件的同胚映射，可以得到不同的坐标系(Coordinate system)或者图(Chart)。如果要使用极坐标来表示2维流型上的某个点，只需要按照上面说的找到其相应的映射即可。
给定$\mathbf{R}_2$上的一个拓扑空间$S$
可以按照下面的方式划分不同的坐标系(Coordinate system)或图(Chart)
由于图中四个相交的部分都等效，可以取其中一个加以证明，如黄色和绿色相交的地方。
黄色区域的点在该坐标系下的坐标的值为该点在$\mathbf{R}_2$下自然坐标的横坐标，即$x$，同理绿色区域的点在其坐标系下的坐标为$y$。
对于一个从黄色区域对应的坐标系到绿色区域的坐标变换，其表达式为
显然上式无限阶连续(任意阶导函数存在且连续)
则$M$是一个1维流形，其图册为$\{(O_1, \Psi_1),(O_2, \Psi_2),(O_3, \Psi_3),(O_4, \Psi_4)\}$。
图册(Atlas)
对于一个拓扑空间M，定义了两个不同的图册$\{(O_1, \Psi_1)\}$和$\{(O_2, \Psi_2)\}$
当这两个图册不相容($O_1$和$O_2$的交集不为空，并且从$O_1$到$O_2$的复合映射不是无限阶连续)，这个时候就在同一个拓扑空间上定义了两个不同流形。
一开始谈流形的时候说过：一个拓扑空间再加上一个微分结构，称为流形。那么对于这两个流形，它们的拓扑结构是相同，不同的是它们微分结构。
而当这两个图册相容的时候，可以把这两个图册合并为一个更大的图册$\{(O_1, \Psi_1),(O_2, \Psi_2)\}$，这样3个图册定义出来流形的是一样的。为了方便，一般定义一个流形都取最大的图册。
流形间映射
假定存在一个从流形$M$到流形$M’$上的映射$f$，根据流形的定义，分别选定它们开覆盖上的开集$O$和$O’$，且它们分别存在从自身到对应维度的拓扑空间$\mathbf{R}_n$和$\mathbf{R’}_n$上的某个开子集的同胚映射，如下图所示
观察图中的映射关系，可以发现映射$f$是$\Psi$、$g$和$\Psi’$逆映射的复合，根据流形的定义可以知道$\Psi$和$\Psi’$为同胚映射，所以要看映射$f$的连续性，只需要看映射$g$的连续性，如果$g$是无限阶连续的，则$f$也是无限阶连续的。
之前提到，两个拓扑空间的映射如果是One to one和onto，并且正反映射都是$C^0$连续的，则称它们是同胚的。
同样地，两个流形之间的映射如果是One to one和onto，并且正反映射都是无限阶连续的，则称它们是 微分同胚(Diffeomorphism) 的。
标量场 & 函数(Scaler Field & Function)
假定存在一个从流形$M$到实数域$R$上的映射$f$，则称映射$f$为一个 函数(Function) 或者 标量场(Scaler field) 。
需要特别注意，这里的 函数 和我们之前学的函数是 不一样 的。
以前我们考虑一个n元函数需要给定一个n元的自变量，换句话说就是要给定一个坐标，而对于流形$M$上的同一个点，由于给定的 坐标系 或 图 不同，得到的坐标也不同。不同的坐标通过函数得到的函数值相同，所以这几个函数的函数关系也不同。
所以，对于之前理解的函数，他是依赖于 坐标系 或 图 ，它是 相对的 。而这里的我们所提到的 函数 是不依赖于具体坐标系，它是 绝对的 。
所以为了防止混淆，把这个从流形$M$到实数域$R$上的映射$f$称作 标量场 更加合适。
开子集&闭子集
如果一个子集是 开子集(Open Subset) ，那么它的补集就是 闭子集(Closed Subset) 。
一个集既可以是开的，也可以是闭的，还能是不开不闭和即开又闭的。
全集是开子集，全集的补集是空子集，所以空集是闭子集，而空集又是开子集，所以空集即开又闭，反之同理可以得到全集也是既开又闭的。
连通性(Connectivity)
如果一个 拓扑空间 的既开又闭的子集只有两个，则称它是 连通的(Connected) 。
还有一个和上面连通性定义比较像的定义：对于一个 拓扑空间 内的任意两点，如果它们都能够被处于该 拓扑空间 内部的一条曲线连接，则称它是 弧连通 。
这两个定义本身是有一定区别的，不过在 研究流形的时候 它们是没有区别的。